Claes Borgström blev ledamot av Sveriges advokatsamfund 1980. Från 2015 drev han advokatbyrå i egen regi. Dessförinnan var han under flera år verksam som jämställdhetsombudsman (JämO). I sin advokatroll fick han stor medial uppmärksamhet. Bland hans tidigare uppdrag kan nämnas ledamot i Pressens opinionsnämnd och i Advokatsamfundets disciplinnämnd. Hans engagemang för mänskliga rättigheter märktes bl.a. genom Advokater utan gränser, vars svenska avdelning han var med och startade.